🌼🌼🌼🌼🌼🌼🌼
चला ज्ञानरचनावादी होऊया!
प्रगत शैक्षणिक महाराष्ट्र घडवूया!!!
🌼🌼🌼🌼🌼🌼🌼
👑👑👑👑👑👑👑
🔮 लेख संकल्पना -महाराष्ट्र ॲडमीन पँनल 🔮
👑👑👑👑👑👑👑
महाराष्ट्रातील पहिला व एकमेव शतकवीर शैक्षणिक व्हाट्स अप समुह
👌👌👌👌👌👌👌
🔆🔆🔆🔆🔆🔆🔆
🔅अंक- ५ / भाग-१🔅
🔅ज्ञानरचनावादाने गणित विषयाचे अध्यापन 🔅
🔆🔆🔆🔆🔆🔆🔆
ज्ञानरचनावादविषयी सर्व माहिती देणाऱ्या माझ्या ब्लॉग पेजला भेट द्या!
http://tanajisomwanshi.blogspot.in/search?updated-max=2015-10-17T07:36:00%2B05:30&max-results=1&start=1&by-date=false&m=1
🙏🙏🙏🙏🙏🙏
🐜🐝🐜🐝🐜🐝🐜
या भागात आपण ढोबळमानाने व थोडक्यात रचनावादाद्वारे गणित अध्यापन पाहणार आहोत. पुढील भागात एकेक टप्पा सविस्तरपणे पाहूया.
🐣🐌🐣🐌🐣🐌🐣
🐶प्रस्तुत लेख प्रसिध्द रचनावादी लेखक 'निलेश निमकर' यांच्या "मुलांचे गणित शिक्षण : काही अनुभव" याचा सारांशात्मक भाग आहे.
👇🏻👇🏻👇🏻👇🏻👇🏻👇🏻👇🏻
🐹 ‘गणित शिक्षण’, त्यातूनही लहान मुलांचे गणित शिक्षण या विषयात जगभरात खूपच संशोधन झालेले आहे. गणित शिकताना मुलांच्या संकल्पना कशा विकसित होतात, गणित शिकताना त्यांना कोणत्या अडचणी येतात, यासंबंधीची बरीच माहिती मला माझ्या वाचनातून मिळाली. सगळ्यात महत्त्वाची बाब लक्षात आली की ही की बर्‍याच मुलांना गणिताची नावड निर्माण होण्याचे कारण त्यांची गणित शिक्षणाची पद्धत आहे. गणित जर योग्य पद्धतीने शिकले तर बहुतांश मुलांना आवडते असा अनुभवही मला माझ्या कामातून मिळाला.
🐺 बालवाडीच्या/ अप्रगत मुलांचे ‘गणित शिक्षण’ -
बालवाडीत गणित शिकवताना एक गोष्ट माझ्या प्रकर्षाने लक्षात आली, ती म्हणजे या वयातील मुलांची अवधानकक्षा अगदीच कमी असते. एका वेळी ती फार तर ५ ते ७ मिनिटे लक्ष एकाग्र करू शकतात. त्यामुळे फार प्रस्तावना न करता थेट विषयाला हात घालावा लागतो. तसेच जो भाग शिकवायचा असेल त्याची अगदी छोट्या छोट्या घटकांत विभागणी करावी लागते. उदाहरणच घ्यायचे झाले तर मी बालवाडीच्या मुलांबरोबर फक्त १ ते ५ पर्यंतची मोजणी आठवडाभर करत असे. मुलांना दगड, बिया, शाळेतील फळे, इमारतीच्या खिडक्या अशा विविध वस्तू मोजायला सांगत असे. आठवडाभर सराव झाला म्हणजे मग ६ ते १० पर्यंतची मोजणी पुढील आठवड्यात शिकवत असे. असे टप्प्याटप्प्याने जाऊन साधारण २० पर्यंतची मोजणी मुले बालवाडीत शिकत. त्यांना २० पर्यंतचे अंकही बालवाडीमध्येच ओळखता येत.
👉🏻 २० पर्यंतच्या संख्या शिकून झाल्यावर, त्या वेगवेगळ्या संदर्भात वापरणे, त्यांची परस्परांशी तुलना करणे, त्यांचा क्रम लावणे असे वेगवेगळे उपक्रम मी बालवाडीत करत असे.
या मुलांना शिकवताना ठोस वस्तूंचा वापर करणे अत्यावश्यक असते असे माझ्या वाचनात आले होते. माझ्या अनुभवातूनही याची सत्यता मला समजली.
दशक-एकक ही संकल्पना शिकवण्यासाठी मी काड्यांचे गठ्ठे व सुट्या काड्या वापरत असे. ११ ते २० मध्ये असणार्‍या सर्व संख्या मुले गठ्ठे व काड्या या स्वरूपात ओळखत. १४ म्हणजे एक गठ्ठा आणि चार काड्या, १७ म्हणजे एक गठ्ठा आणि सात काड्या असे मुले सांगू शकत. मग त्यांना गठ्ठ्याचे नाव दशक आणि काड्यांचे नाव एकक असे सांगून दशकाची सहज ओळख करून देता येई. अर्थातच एकक-दशक ही औपचारिक नावे मी पहिलीच्या मध्यावर आल्यानंतरच त्यांना सांगत असे. माझ्या काही शिक्षक मित्रांनी मला सांगितले की मुले अगदी चौथीपर्यंतही एकक, दशक, शतक या संकल्पनांमध्ये गोंधळ घालतात. मात्र माझा अनुभव असा आहे की या संकल्पनांमध्ये माझ्या शाळेतल्या मुलांना कधीही फारशी अडचण आली नाही.
बालवाडीत मी औपचारिकरित्या बेरीज-वजाबाकी यांसारख्या क्रिया शिकवत नसे. मात्र प्रत्यक्ष वस्तू वापरून या क्रियांशी संबंधित व्यवहार मुलांकडून करून घेत असे. व्यवहार करून झाला म्हणजे मी व्यवहाराशी संबंधित काही प्रश्न मुलांना विचारत असे.
उदाहरणार्थ -
आपण भागाकाराचा व्यवहार घेऊया. मी सर्व मुलांना गोलात बसवी. मग एखाद्या मुलाला खिशातून आठ खजुर्‍या काढायला सांगे. त्या मोजून झाल्या म्हणजे मग मी त्या एकाला ३ याप्रमाणे वाटायला सांगायचो. दोन जणांना तीन-तीन खजुर्‍या मिळायच्या आणि दोन खजुर्‍या उरायच्या. मग माझी प्रश्नोत्तरे सुरू झाली.
आपण किती खजुर्‍या घेतल्या ?
प्रत्येकाला किती वाटल्या ?
किती मुलांना तीन-तीन खजुर्‍या मिळाल्या ?
वाटून किती संपल्या ?
किती उरल्या ?
मी वेगवेगळ्या संख्या घेऊन हा खेळ खेळत असे. या प्रश्नोत्तरांतून हळूहळू मुलांची भागाकाराची समज तयार होई. अर्थातच त्यांना बालवाडीत भागाकार वगैरे शब्द माहिती नव्हते. त्यांच्यासाठी तो एक खजुर्‍या वाटण्याचा मजेदार खेळ होता.
बालवाडीत २० पर्यंतच्या संख्या शिकवून झाल्या म्हणजे त्यांचा वापर वेगवेगळ्या वस्तू वापरण्यासाठी करायला मी शिकवायचो. त्यात पेन्सिल वापरून टेबलांची उंची वा लांबी मोजणे किंवा एखादा कप वापरून डब्यात किती कप पाणी मावते ते मोजणे असे उपक्रम होते. अशा खेळांमधूनच मुलांचा संख्या परिचय दृढ होत गेला. अर्थातच हे सारे मोजमाप १ ते २० इतक्यात संख्या वापरून केले जात असे.
प्राथमिक शाळेतील गणित शिक्षण-
इयत्ता पहिलीचे पाठ्यपुस्तक जरी संख्यापरिचयापासून सुरू होत असले, तरी माझ्या शाळेचा पहिलीचा कार्यक्रम साधारणपणे एक अंकी संख्यांच्या बेरजेने सुरू व्हायचा. बेरजेचा व्यवहार मुलांना बालवाडीतच परिचयाचा झालेला असायचा. आता गरज असायची ती बेरजेची मांडणी शिकण्याची. ही मांडणी झाली की बिया, चिंचोके असे काहीतरी देऊन मुले बेरीज सोडवायची. म्हणजे ५+३ असे उदाहरण दिले की मुले पाच बिया घ्यायची, मग तीन बिया घ्यायची आणि एकत्र करून मोजून उत्तर लिहायची. मग काही दिवसांनी मी त्यांना सांगायचो ५+३ सोडवताना ५ बिया आहेत असे समजा आणि ३ बिया घेऊन एकदम पुढे मोजा. असे केल्यावर मुलांचा वेळ वाचत असे. आणि ती अधिक उत्साहाने काम करू लागायची. साधारण ३ ते ४ आठवडे असा सगळा सराव चालायचा. त्यातही प्रथम १ ते ५ मधील संख्यांची बेरीज. त्यानंतर मी त्यांना बेरजेचे आकृतिबंध शिकवत असे. मनातल्या मनात बेरीज करता येण्यासाठी हे आकृतिबंध फारच उपयोगी पडतात. या आकृतिबंधांपैकी काही आकृतिबंध खाली देत आहे. मी मुलांना वेगाने खालील प्रश्न विचारत असे.
२ आणि १ किती ?३
२ आणि २ किती ?४
३ आणि १ किती ? ४
३ आणि २ किती ? ५
३ आणि ३ किती ? ६
४ आणि १ किती ?५
४ आणि २ किती ?६
रोज पाच मिनिटे आमचा असा सराव चाले. यामुळे एक अंकी संख्यांची बेरीज मुले सहजपणे तोंडी करू लागत.
मी जसा तोंडी बेरजेचा पाया पक्का करून घेत असे, तसाच तोंडी वजाबाकीचाही पाया पक्का करीत असे. मुले एक अंकी बेरजा व वजाबाक्या पहिलीच्या शेवटापर्यंत वेगाने करू लागत. त्यामुळे वजाबाकी शिकवताना इयत्ता पहिली-दुसरीत मी अजून एका संकल्पनेवर भरपूर भर देत असे. ती म्हणजे स्थानिक किंमत. माझ्या वाचनात असे आले होते की स्थानिक किंमतीची संकल्पना विकसित होण्यासाठी शेकडो वर्षं गेली आहेत. या संकल्पनेमुळे संख्यालेखनात व एकूणच अंकगणितात क्रांती झाली आहे. ही संकल्पना नीट समजली म्हणजे चारही मूळ क्रिया (बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार) करताना मुलांना मदत मिळते. मी आमच्या शाळेत काड्यांचे गठ्ठे व सुट्या काड्या, एक रुपयाची नाणी व दहाच्या नोटा अशी साधने स्थानिक किंमत शिकवण्यासाठी वापरत असे.
उदा-
🎋जमिनीवर एकांशेजारी एक चौकोन आखून त्यांना काड्यांचे घर व गठ्ठ्यांचे घर अशी नावे मी देई. नंतर काड्याच्या घरात एकेक काडी ठेवून संख्या लिहून दाखवी. १० काड्या झाल्या की त्यांचा गठ्ठा बांधून तो मी गठ्ठ्यांच्या घरात ठेवत असे. मग गठ्ठ्यांच्या घरात १ गठ्ठा आणि काड्यांचे घर रिकामे म्हणजे ० काड्या असे लिहून १० ही संख्या कशी लिहिली जाते हे दाखवत असे. काड्या-गठ्ठ्यांचा पुरेसा सराव झाला की मी घरांची नावे बदली. काड्यांचे घर नाण्यांचे होई आणि गठ्ठ्यांचे घर १० च्या नोटेचे. नोटा आणि नाणी घेतल्याने काड्या व गठ्ठ्यांच्या तुलनेत ती दाखवायला सोपी जात. मी आधी ९९ पर्यंतच्या संख्यांच्या स्थानिक किंमतीची कल्पना मुलांना नाणी आणि नोटांच्या मदतीने देई.
🎄दशक-एकक हे शब्द मात्र मी पुष्कळ उशिरा वापरू लागे. कारण हे अपरिचित शब्द सुरुवातीला वापरल्यामुळे मुलांचा गोंधळ होतो असे मला माझ्या अनुभवानूत लक्षात आले. म्हणून मी गंमत करी. २ गठ्ठे आणि ३ काड्या मुलांसमोर ठेवून मी विचारे या किती काड्या ? मुले म्हणत -२३. मग मी एक गठ्ठा सोडून त्यातील काड्या मोकळ्या करत असे व मुलांना विचारे
😇“आता या किती काड्या ?”😇
अनेक मुलांना याचे उत्तर देता येत नसे. काड्या २३च आहेत याबाबत त्यांना खात्री वाटत नसे. काही जण मोजण्याचा आग्रह करत. हळूहळू त्यांच्या लक्षात येई की गठ्ठा सोडला तरी संख्या बदलत नाही. मग ती त्यांना एकच संख्या दोन वेगवेगळ्या प्रकारे लिहायला सांगे.
उदाहरणार्थ-
👉🏻२३ म्हणजे दोन गठ्ठे आणि ३ काड्या
👉🏻१ गठ्ठा आणि १२ काड्या
👉🏻३५ म्हणजे ३ गठ्ठे आणि ५ काड्या
या समजेचा उपयोग मुलांना २ अंकी संख्यांची हातच्याची वजाबाकी शिकताना होत असे.
उत्तर भारतीय भाषांप्रमाणेच मराठीतसुध्दा संख्यावाचन मुलांसाठी अवघड असते. दोन अंकी संख्या वाचताना त्या उजवीकडून डावीकडे वाचल्या जातात. मात्र लिहिताना त्या डावीकडून उजवीकडे लिहिल्या जातात. उदा. ४२ ही संख्या बेचाळीस अशी वाचली जाते. ‘बे’ म्हणजे २ आणि ४० अशी. मात्र लिहिताना ४ आधी व २ नंतर लिहिले जातात. याशिवाय दोन म्हणण्यासाठी ‘बा’ (बारा, बावीस, बावन्न, बासष्ट), ‘बत्’ (बत्तीस), ‘ब’ (बेचाळीस), ‘बे’ (बहात्तर), ‘ब्या’ (ब्याऐंशी, ब्याण्णव) असे पाच वेगवेगळे उच्चार केले जातात. प्रत्येक संख्येसाठी असे वेगवेगळे उच्चार आहेत. यामुळे मुलांना मराठीतील संख्यांची नावे लक्षात ठेवणे कठीण जाते. याशिवाय एकक स्थानी नऊ आले की २९ (एकोणतीस – एक उणा तीस) ३९ (एक उणा चाळीस) अशी नावांची पद्धत बदलते. याचाही मुलांना सुरुवातीस त्रास होतो.
मराठीतील संख्यांच्या नावांचा हा गोंधळ लक्षात घेऊन माझ्या शाळेमध्ये दोन अंकी संख्या शिकवण्याबाबत काही धोरण मी आखले होते. ते असे.
१०० पर्यंतच्या सर्व संख्या एकदम न शिकवता – दहा दहाच्या टप्प्याने शिकवायच्या, म्हणजे २१ ते ३०, ३१ ते ४० असे टप्पे करायचे.
संख्या शिकवताना एकेका टप्प्यातील संख्या लिहिलेली कागदाची पट्टी वर्गात भिंतीवर लावून ठेवायची आणि संख्या वाचनाचा सराव या पट्टीच्या मदतीने रोज पाच ते सात मिनिटे याप्रमाणे किमान आठवडाभर द्यायचा.
संख्यांच्या वाचनाचा सराव देताना त्या चढत्या क्रमाने व उतरत्या क्रमाने वाचन घ्यायच्या; याशिवाय अधल्यामधल्या संख्या ओळखण्यास सांगायच्या; एखाद्या संख्येच्या आधीची किंवा नंतरची संख्या ओळखायला सांगायची; या धोरणामुळे १०० पर्यंतच्या संख्या शिकवण्याचे काम इयत्ता पहिलीच्या शेवटापर्यंत चाले. पण त्यामुळे गणितातील इतर भाग शिकण्यास काहीच अडथळा येत नसे. जसजशी मुलं संख्या शिकत पुढे जातील तसतसा मी बेरीज-वजाबाकीचा कार्यक्रमही पुढे नेत असे.
🎌अपुर्णांक🎌
आमच्या शाळेत अपूर्णांकांची तोंडओळख बालवाडीत करून दिली जात असे. त्यानंतर टप्प्याटप्प्याने इयत्ता पहिली, दुसरी, तिसरी, चौथी या चारही वर्गांत अपूर्णांकांचा थोडा थोडा भाग अनौपचारिकरित्या शिकवला जायचा. इयत्ता चौथीतील हा भाग नीट समजावा म्हणून काही पूर्वतयारी करून घेण्याचे धोरण आमच्या शाळेत होते. अपूर्णांक शिकवीत असताना काही बाबी माझ्या लक्षात आल्या. त्या अशा –
📡अपूर्णांकाची ओळख करून देताना वेगवेगळे संदर्भ वापरायला हवेत. म्हणजे कागदाचा अर्धा करताना आपण क्षेत्रफळाचा विचार करतो. अर्धा पेला पाणी असे म्हणताना पेल्याच्या आकारमानाचा विचार करतो. खेळातील गोट्या अर्ध्या अर्ध्या वाटून घेताना गोट्यांच्या संख्येचा विचार करतो. मुलांना हे सगळे वेगवेगळे संदर्भ स्वतंत्रपणे माहीत करून द्यायला हवेत आणि कोणताही अपूर्णांक एखाद्या पूर्णांकाच्या संदर्भाने येतो हे लक्षात आणून द्यायला हवे.
☎सामान्यपणे अपूर्णांक शिकवताना जी उदाहरणे पाठ्यपुस्तकात येतात, ती सुसम आकृत्यांची असतात. म्हणजे वर्तुळ, समभुज त्रिकोण, आयत किंवा चौरस अशा वेगवेगळ्या आकारांच्या पूर्णाकृतींचा वापर केला पाहिजे.
🎃अजून एक महत्त्वाची बाब माझ्या लक्षात आली. ती अशी की अपूर्णांकांची औपचारिक ओळख करून देताना (अपूर्णांक लिहायला, वाचायला शिकवताना) आपण काय भाषा वापरतो हे फारच महत्त्वाचे आहे. २/५ म्हणजे एका वस्तूचे पाच भाग केले आणि त्यांपैकी दोन घेतले, तर त्या दोन भागांना २/५ म्हणायचे, अशी भाषा सामान्यपणे वापरली जाते. यात गणिताच्या दृष्टीने काहीच चूक नाही. मात्र पुढे अंशाधिक अपूर्णांक शिकताना मुलांना या भाषेचाच अडसर कसा होतो, हे लक्षात आले. २/५ म्हणजेच पाच भागांपैकी दोन भाग हे मुलांच्या डोक्यात पक्के बसते. त्यामुळे ७/५ असा अपूर्णांक असणारच नाही असे त्यांना वाटते. त्यांचा प्रश्न साधा असतो. पाचच भाग केले, तर त्यांतील सात भाग कसे घेणार. म्हणजे मुले जी मर्यादित संकल्पना शिकलेली असतात, तिचा विस्तार करणे त्यांना अवघड वाटते. या प्रश्नावर उपाय म्हणून मला एक अभिनव पद्धत एका पुस्तकात वाचायला मिळाली. या पुस्तकात एका पूर्णाकृतीचे दोन, तीन, चार, पाच, सहा असे समान भाग केलेले दाखविलेले होते आणि दोन सारखे भाग केले तर एका भागाला १/२ म्हणावे, तीन सारखे भाग केले तर एका भागाला १/३ म्हणावे अशी अपूर्णांकांची ओळख करून दिली होती. म्हणजे प्रथम ‘अंश एक’ असणार्‍या अपूर्णांकांचीच ओळख करून दिली होती. यानंतर २/३ म्हणजे १/३ दोन वेळा घेतले, ४/५ म्हणजे १/५ चार वेळा, ४/३ म्हणजे १/३ चार वेळा अशी अपूर्णांकांची ओळख करून दिली होती. मी ही पद्धत माझ्या शाळेत वापरली आणि ही खूपच प्रभावी असल्याचे माझ्या लक्षात आले. “त्यांपैकी” हा शब्द टाळून अपूर्णांकांची ओळख करून दिल्याने अंशाधिक अपूर्णांक शिकताना येणारी अडचण सहज टळू शकते हेही माझ्या लक्षात आले.
🎈महाराष्ट्र शासनाच्या प्राथमिक शाळेच्या अभ्यासक्रमानुसार प्रमाणित एककाच परिचय इ, तिसरी, चौथी व पाचवी मिळून करून देणे अपेक्षित आहे. हा भाग बहुतेक वेळा मुले पाठ करतात असे माझ्या लक्षात आले. मिली, सेंटी, डेसी अशी नावे वापरून दिलेली उदाहरणे मुले सोडवतात. एक हजार लिटर पाणी नेण्यासाठी मोठी टाकी लागेल असे मी जेव्हा मुलांना सांगितले, तेव्हा त्यांना फारच आश्चर्य वाटले. या सगळ्या मुलांना मिली, सेंटी, डेसी, लिटर, डेका, हेक्टो, किलो ही श्रेणी पाठ होती. समस्येवर उपाय म्हणून मी व्यवहारातल्या वस्तूची सांगड एककाशी घालत असे. जसे बाळाला औषध पाजण्याचा ड्रॉपर पाणी घेतले तर ते साधारण एक मिलीलिटर इतके असते किंवा मुलांना औषध देण्याचे छोटे टोपण १ सेंटीलिटर असले किंवा कफ सिरपची बाटली १ डेसीलिटरची असते, अशी उदाहरणे वापरून मी मुलांना परिमाणाचे अंदाज करण्यास शिकवत असे. यामुळे मुलांना एका एककाचे दुसर्‍या एककात रूपांतर करताना मोठीच मदत मिळते, असेही माझ्या लक्षात आले. एकूणच मापन हा भाग आपल्याकडे दुर्लक्षित असून तो योग्य रीतीने शिकवण्यासाठी विचारपूर्वक कार्यक्रम आखायला हवा असेही मला जाणवले.
🐑🐘🐑🐘🐑🐘🐑
📢📢📢📢📢📢📢
परिपाठाविषयी संपुर्ण माहिती देणाऱ्या खालील पेजला नक्की भेट द्या.
यात परिपाठासाठी आवश्यक MP3 गीते, दररोजचा इंग्रजी-मराठी परिपाठ, बोधकथा-सुविचार-दिनविशेष-गीते यांचा संग्रह-
👇🏻
http://tanajisomwanshi.blogspot.in/2015/10/blog-post_81.html?m=1
🙏🏻🙏🏻 धन्यवाद 🙏🏻🙏🏻
चला ज्ञानरचनावादी होऊया!
प्रगत शैक्षणिक महाराष्ट्र घडवूया!!!
🌼🌼🌼🌼🌼🌼🌼
👑👑👑👑👑👑👑
🔮 लेख संकल्पना -महाराष्ट्र ॲडमीन पँनल 🔮
👑👑👑👑👑👑👑
महाराष्ट्रातील पहिला व एकमेव शतकवीर शैक्षणिक व्हाट्स अप समुह
👌👌👌👌👌👌👌
🔆🔆🔆🔆🔆🔆🔆
🔅अंक- ५ / भाग-१🔅
🔅ज्ञानरचनावादाने गणित विषयाचे अध्यापन 🔅
🔆🔆🔆🔆🔆🔆🔆
ज्ञानरचनावादविषयी सर्व माहिती देणाऱ्या माझ्या ब्लॉग पेजला भेट द्या!
http://tanajisomwanshi.blogspot.in/search?updated-max=2015-10-17T07:36:00%2B05:30&max-results=1&start=1&by-date=false&m=1
🙏🙏🙏🙏🙏🙏
🐜🐝🐜🐝🐜🐝🐜
या भागात आपण ढोबळमानाने व थोडक्यात रचनावादाद्वारे गणित अध्यापन पाहणार आहोत. पुढील भागात एकेक टप्पा सविस्तरपणे पाहूया.
🐣🐌🐣🐌🐣🐌🐣
🐶प्रस्तुत लेख प्रसिध्द रचनावादी लेखक 'निलेश निमकर' यांच्या "मुलांचे गणित शिक्षण : काही अनुभव" याचा सारांशात्मक भाग आहे.
👇🏻👇🏻👇🏻👇🏻👇🏻👇🏻👇🏻
🐹 ‘गणित शिक्षण’, त्यातूनही लहान मुलांचे गणित शिक्षण या विषयात जगभरात खूपच संशोधन झालेले आहे. गणित शिकताना मुलांच्या संकल्पना कशा विकसित होतात, गणित शिकताना त्यांना कोणत्या अडचणी येतात, यासंबंधीची बरीच माहिती मला माझ्या वाचनातून मिळाली. सगळ्यात महत्त्वाची बाब लक्षात आली की ही की बर्‍याच मुलांना गणिताची नावड निर्माण होण्याचे कारण त्यांची गणित शिक्षणाची पद्धत आहे. गणित जर योग्य पद्धतीने शिकले तर बहुतांश मुलांना आवडते असा अनुभवही मला माझ्या कामातून मिळाला.
🐺 बालवाडीच्या/ अप्रगत मुलांचे ‘गणित शिक्षण’ -
बालवाडीत गणित शिकवताना एक गोष्ट माझ्या प्रकर्षाने लक्षात आली, ती म्हणजे या वयातील मुलांची अवधानकक्षा अगदीच कमी असते. एका वेळी ती फार तर ५ ते ७ मिनिटे लक्ष एकाग्र करू शकतात. त्यामुळे फार प्रस्तावना न करता थेट विषयाला हात घालावा लागतो. तसेच जो भाग शिकवायचा असेल त्याची अगदी छोट्या छोट्या घटकांत विभागणी करावी लागते. उदाहरणच घ्यायचे झाले तर मी बालवाडीच्या मुलांबरोबर फक्त १ ते ५ पर्यंतची मोजणी आठवडाभर करत असे. मुलांना दगड, बिया, शाळेतील फळे, इमारतीच्या खिडक्या अशा विविध वस्तू मोजायला सांगत असे. आठवडाभर सराव झाला म्हणजे मग ६ ते १० पर्यंतची मोजणी पुढील आठवड्यात शिकवत असे. असे टप्प्याटप्प्याने जाऊन साधारण २० पर्यंतची मोजणी मुले बालवाडीत शिकत. त्यांना २० पर्यंतचे अंकही बालवाडीमध्येच ओळखता येत.
👉🏻 २० पर्यंतच्या संख्या शिकून झाल्यावर, त्या वेगवेगळ्या संदर्भात वापरणे, त्यांची परस्परांशी तुलना करणे, त्यांचा क्रम लावणे असे वेगवेगळे उपक्रम मी बालवाडीत करत असे.
या मुलांना शिकवताना ठोस वस्तूंचा वापर करणे अत्यावश्यक असते असे माझ्या वाचनात आले होते. माझ्या अनुभवातूनही याची सत्यता मला समजली.
दशक-एकक ही संकल्पना शिकवण्यासाठी मी काड्यांचे गठ्ठे व सुट्या काड्या वापरत असे. ११ ते २० मध्ये असणार्‍या सर्व संख्या मुले गठ्ठे व काड्या या स्वरूपात ओळखत. १४ म्हणजे एक गठ्ठा आणि चार काड्या, १७ म्हणजे एक गठ्ठा आणि सात काड्या असे मुले सांगू शकत. मग त्यांना गठ्ठ्याचे नाव दशक आणि काड्यांचे नाव एकक असे सांगून दशकाची सहज ओळख करून देता येई. अर्थातच एकक-दशक ही औपचारिक नावे मी पहिलीच्या मध्यावर आल्यानंतरच त्यांना सांगत असे. माझ्या काही शिक्षक मित्रांनी मला सांगितले की मुले अगदी चौथीपर्यंतही एकक, दशक, शतक या संकल्पनांमध्ये गोंधळ घालतात. मात्र माझा अनुभव असा आहे की या संकल्पनांमध्ये माझ्या शाळेतल्या मुलांना कधीही फारशी अडचण आली नाही.
बालवाडीत मी औपचारिकरित्या बेरीज-वजाबाकी यांसारख्या क्रिया शिकवत नसे. मात्र प्रत्यक्ष वस्तू वापरून या क्रियांशी संबंधित व्यवहार मुलांकडून करून घेत असे. व्यवहार करून झाला म्हणजे मी व्यवहाराशी संबंधित काही प्रश्न मुलांना विचारत असे.
उदाहरणार्थ -
आपण भागाकाराचा व्यवहार घेऊया. मी सर्व मुलांना गोलात बसवी. मग एखाद्या मुलाला खिशातून आठ खजुर्‍या काढायला सांगे. त्या मोजून झाल्या म्हणजे मग मी त्या एकाला ३ याप्रमाणे वाटायला सांगायचो. दोन जणांना तीन-तीन खजुर्‍या मिळायच्या आणि दोन खजुर्‍या उरायच्या. मग माझी प्रश्नोत्तरे सुरू झाली.
आपण किती खजुर्‍या घेतल्या ?
प्रत्येकाला किती वाटल्या ?
किती मुलांना तीन-तीन खजुर्‍या मिळाल्या ?
वाटून किती संपल्या ?
किती उरल्या ?
मी वेगवेगळ्या संख्या घेऊन हा खेळ खेळत असे. या प्रश्नोत्तरांतून हळूहळू मुलांची भागाकाराची समज तयार होई. अर्थातच त्यांना बालवाडीत भागाकार वगैरे शब्द माहिती नव्हते. त्यांच्यासाठी तो एक खजुर्‍या वाटण्याचा मजेदार खेळ होता.
बालवाडीत २० पर्यंतच्या संख्या शिकवून झाल्या म्हणजे त्यांचा वापर वेगवेगळ्या वस्तू वापरण्यासाठी करायला मी शिकवायचो. त्यात पेन्सिल वापरून टेबलांची उंची वा लांबी मोजणे किंवा एखादा कप वापरून डब्यात किती कप पाणी मावते ते मोजणे असे उपक्रम होते. अशा खेळांमधूनच मुलांचा संख्या परिचय दृढ होत गेला. अर्थातच हे सारे मोजमाप १ ते २० इतक्यात संख्या वापरून केले जात असे.
प्राथमिक शाळेतील गणित शिक्षण-
इयत्ता पहिलीचे पाठ्यपुस्तक जरी संख्यापरिचयापासून सुरू होत असले, तरी माझ्या शाळेचा पहिलीचा कार्यक्रम साधारणपणे एक अंकी संख्यांच्या बेरजेने सुरू व्हायचा. बेरजेचा व्यवहार मुलांना बालवाडीतच परिचयाचा झालेला असायचा. आता गरज असायची ती बेरजेची मांडणी शिकण्याची. ही मांडणी झाली की बिया, चिंचोके असे काहीतरी देऊन मुले बेरीज सोडवायची. म्हणजे ५+३ असे उदाहरण दिले की मुले पाच बिया घ्यायची, मग तीन बिया घ्यायची आणि एकत्र करून मोजून उत्तर लिहायची. मग काही दिवसांनी मी त्यांना सांगायचो ५+३ सोडवताना ५ बिया आहेत असे समजा आणि ३ बिया घेऊन एकदम पुढे मोजा. असे केल्यावर मुलांचा वेळ वाचत असे. आणि ती अधिक उत्साहाने काम करू लागायची. साधारण ३ ते ४ आठवडे असा सगळा सराव चालायचा. त्यातही प्रथम १ ते ५ मधील संख्यांची बेरीज. त्यानंतर मी त्यांना बेरजेचे आकृतिबंध शिकवत असे. मनातल्या मनात बेरीज करता येण्यासाठी हे आकृतिबंध फारच उपयोगी पडतात. या आकृतिबंधांपैकी काही आकृतिबंध खाली देत आहे. मी मुलांना वेगाने खालील प्रश्न विचारत असे.
२ आणि १ किती ?३
२ आणि २ किती ?४
३ आणि १ किती ? ४
३ आणि २ किती ? ५
३ आणि ३ किती ? ६
४ आणि १ किती ?५
४ आणि २ किती ?६
रोज पाच मिनिटे आमचा असा सराव चाले. यामुळे एक अंकी संख्यांची बेरीज मुले सहजपणे तोंडी करू लागत.
मी जसा तोंडी बेरजेचा पाया पक्का करून घेत असे, तसाच तोंडी वजाबाकीचाही पाया पक्का करीत असे. मुले एक अंकी बेरजा व वजाबाक्या पहिलीच्या शेवटापर्यंत वेगाने करू लागत. त्यामुळे वजाबाकी शिकवताना इयत्ता पहिली-दुसरीत मी अजून एका संकल्पनेवर भरपूर भर देत असे. ती म्हणजे स्थानिक किंमत. माझ्या वाचनात असे आले होते की स्थानिक किंमतीची संकल्पना विकसित होण्यासाठी शेकडो वर्षं गेली आहेत. या संकल्पनेमुळे संख्यालेखनात व एकूणच अंकगणितात क्रांती झाली आहे. ही संकल्पना नीट समजली म्हणजे चारही मूळ क्रिया (बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार) करताना मुलांना मदत मिळते. मी आमच्या शाळेत काड्यांचे गठ्ठे व सुट्या काड्या, एक रुपयाची नाणी व दहाच्या नोटा अशी साधने स्थानिक किंमत शिकवण्यासाठी वापरत असे.
उदा-
🎋जमिनीवर एकांशेजारी एक चौकोन आखून त्यांना काड्यांचे घर व गठ्ठ्यांचे घर अशी नावे मी देई. नंतर काड्याच्या घरात एकेक काडी ठेवून संख्या लिहून दाखवी. १० काड्या झाल्या की त्यांचा गठ्ठा बांधून तो मी गठ्ठ्यांच्या घरात ठेवत असे. मग गठ्ठ्यांच्या घरात १ गठ्ठा आणि काड्यांचे घर रिकामे म्हणजे ० काड्या असे लिहून १० ही संख्या कशी लिहिली जाते हे दाखवत असे. काड्या-गठ्ठ्यांचा पुरेसा सराव झाला की मी घरांची नावे बदली. काड्यांचे घर नाण्यांचे होई आणि गठ्ठ्यांचे घर १० च्या नोटेचे. नोटा आणि नाणी घेतल्याने काड्या व गठ्ठ्यांच्या तुलनेत ती दाखवायला सोपी जात. मी आधी ९९ पर्यंतच्या संख्यांच्या स्थानिक किंमतीची कल्पना मुलांना नाणी आणि नोटांच्या मदतीने देई.
🎄दशक-एकक हे शब्द मात्र मी पुष्कळ उशिरा वापरू लागे. कारण हे अपरिचित शब्द सुरुवातीला वापरल्यामुळे मुलांचा गोंधळ होतो असे मला माझ्या अनुभवानूत लक्षात आले. म्हणून मी गंमत करी. २ गठ्ठे आणि ३ काड्या मुलांसमोर ठेवून मी विचारे या किती काड्या ? मुले म्हणत -२३. मग मी एक गठ्ठा सोडून त्यातील काड्या मोकळ्या करत असे व मुलांना विचारे
😇“आता या किती काड्या ?”😇
अनेक मुलांना याचे उत्तर देता येत नसे. काड्या २३च आहेत याबाबत त्यांना खात्री वाटत नसे. काही जण मोजण्याचा आग्रह करत. हळूहळू त्यांच्या लक्षात येई की गठ्ठा सोडला तरी संख्या बदलत नाही. मग ती त्यांना एकच संख्या दोन वेगवेगळ्या प्रकारे लिहायला सांगे.
उदाहरणार्थ-
👉🏻२३ म्हणजे दोन गठ्ठे आणि ३ काड्या
👉🏻१ गठ्ठा आणि १२ काड्या
👉🏻३५ म्हणजे ३ गठ्ठे आणि ५ काड्या
या समजेचा उपयोग मुलांना २ अंकी संख्यांची हातच्याची वजाबाकी शिकताना होत असे.
उत्तर भारतीय भाषांप्रमाणेच मराठीतसुध्दा संख्यावाचन मुलांसाठी अवघड असते. दोन अंकी संख्या वाचताना त्या उजवीकडून डावीकडे वाचल्या जातात. मात्र लिहिताना त्या डावीकडून उजवीकडे लिहिल्या जातात. उदा. ४२ ही संख्या बेचाळीस अशी वाचली जाते. ‘बे’ म्हणजे २ आणि ४० अशी. मात्र लिहिताना ४ आधी व २ नंतर लिहिले जातात. याशिवाय दोन म्हणण्यासाठी ‘बा’ (बारा, बावीस, बावन्न, बासष्ट), ‘बत्’ (बत्तीस), ‘ब’ (बेचाळीस), ‘बे’ (बहात्तर), ‘ब्या’ (ब्याऐंशी, ब्याण्णव) असे पाच वेगवेगळे उच्चार केले जातात. प्रत्येक संख्येसाठी असे वेगवेगळे उच्चार आहेत. यामुळे मुलांना मराठीतील संख्यांची नावे लक्षात ठेवणे कठीण जाते. याशिवाय एकक स्थानी नऊ आले की २९ (एकोणतीस – एक उणा तीस) ३९ (एक उणा चाळीस) अशी नावांची पद्धत बदलते. याचाही मुलांना सुरुवातीस त्रास होतो.
मराठीतील संख्यांच्या नावांचा हा गोंधळ लक्षात घेऊन माझ्या शाळेमध्ये दोन अंकी संख्या शिकवण्याबाबत काही धोरण मी आखले होते. ते असे.
१०० पर्यंतच्या सर्व संख्या एकदम न शिकवता – दहा दहाच्या टप्प्याने शिकवायच्या, म्हणजे २१ ते ३०, ३१ ते ४० असे टप्पे करायचे.
संख्या शिकवताना एकेका टप्प्यातील संख्या लिहिलेली कागदाची पट्टी वर्गात भिंतीवर लावून ठेवायची आणि संख्या वाचनाचा सराव या पट्टीच्या मदतीने रोज पाच ते सात मिनिटे याप्रमाणे किमान आठवडाभर द्यायचा.
संख्यांच्या वाचनाचा सराव देताना त्या चढत्या क्रमाने व उतरत्या क्रमाने वाचन घ्यायच्या; याशिवाय अधल्यामधल्या संख्या ओळखण्यास सांगायच्या; एखाद्या संख्येच्या आधीची किंवा नंतरची संख्या ओळखायला सांगायची; या धोरणामुळे १०० पर्यंतच्या संख्या शिकवण्याचे काम इयत्ता पहिलीच्या शेवटापर्यंत चाले. पण त्यामुळे गणितातील इतर भाग शिकण्यास काहीच अडथळा येत नसे. जसजशी मुलं संख्या शिकत पुढे जातील तसतसा मी बेरीज-वजाबाकीचा कार्यक्रमही पुढे नेत असे.
🎌अपुर्णांक🎌
आमच्या शाळेत अपूर्णांकांची तोंडओळख बालवाडीत करून दिली जात असे. त्यानंतर टप्प्याटप्प्याने इयत्ता पहिली, दुसरी, तिसरी, चौथी या चारही वर्गांत अपूर्णांकांचा थोडा थोडा भाग अनौपचारिकरित्या शिकवला जायचा. इयत्ता चौथीतील हा भाग नीट समजावा म्हणून काही पूर्वतयारी करून घेण्याचे धोरण आमच्या शाळेत होते. अपूर्णांक शिकवीत असताना काही बाबी माझ्या लक्षात आल्या. त्या अशा –
📡अपूर्णांकाची ओळख करून देताना वेगवेगळे संदर्भ वापरायला हवेत. म्हणजे कागदाचा अर्धा करताना आपण क्षेत्रफळाचा विचार करतो. अर्धा पेला पाणी असे म्हणताना पेल्याच्या आकारमानाचा विचार करतो. खेळातील गोट्या अर्ध्या अर्ध्या वाटून घेताना गोट्यांच्या संख्येचा विचार करतो. मुलांना हे सगळे वेगवेगळे संदर्भ स्वतंत्रपणे माहीत करून द्यायला हवेत आणि कोणताही अपूर्णांक एखाद्या पूर्णांकाच्या संदर्भाने येतो हे लक्षात आणून द्यायला हवे.
☎सामान्यपणे अपूर्णांक शिकवताना जी उदाहरणे पाठ्यपुस्तकात येतात, ती सुसम आकृत्यांची असतात. म्हणजे वर्तुळ, समभुज त्रिकोण, आयत किंवा चौरस अशा वेगवेगळ्या आकारांच्या पूर्णाकृतींचा वापर केला पाहिजे.
🎃अजून एक महत्त्वाची बाब माझ्या लक्षात आली. ती अशी की अपूर्णांकांची औपचारिक ओळख करून देताना (अपूर्णांक लिहायला, वाचायला शिकवताना) आपण काय भाषा वापरतो हे फारच महत्त्वाचे आहे. २/५ म्हणजे एका वस्तूचे पाच भाग केले आणि त्यांपैकी दोन घेतले, तर त्या दोन भागांना २/५ म्हणायचे, अशी भाषा सामान्यपणे वापरली जाते. यात गणिताच्या दृष्टीने काहीच चूक नाही. मात्र पुढे अंशाधिक अपूर्णांक शिकताना मुलांना या भाषेचाच अडसर कसा होतो, हे लक्षात आले. २/५ म्हणजेच पाच भागांपैकी दोन भाग हे मुलांच्या डोक्यात पक्के बसते. त्यामुळे ७/५ असा अपूर्णांक असणारच नाही असे त्यांना वाटते. त्यांचा प्रश्न साधा असतो. पाचच भाग केले, तर त्यांतील सात भाग कसे घेणार. म्हणजे मुले जी मर्यादित संकल्पना शिकलेली असतात, तिचा विस्तार करणे त्यांना अवघड वाटते. या प्रश्नावर उपाय म्हणून मला एक अभिनव पद्धत एका पुस्तकात वाचायला मिळाली. या पुस्तकात एका पूर्णाकृतीचे दोन, तीन, चार, पाच, सहा असे समान भाग केलेले दाखविलेले होते आणि दोन सारखे भाग केले तर एका भागाला १/२ म्हणावे, तीन सारखे भाग केले तर एका भागाला १/३ म्हणावे अशी अपूर्णांकांची ओळख करून दिली होती. म्हणजे प्रथम ‘अंश एक’ असणार्‍या अपूर्णांकांचीच ओळख करून दिली होती. यानंतर २/३ म्हणजे १/३ दोन वेळा घेतले, ४/५ म्हणजे १/५ चार वेळा, ४/३ म्हणजे १/३ चार वेळा अशी अपूर्णांकांची ओळख करून दिली होती. मी ही पद्धत माझ्या शाळेत वापरली आणि ही खूपच प्रभावी असल्याचे माझ्या लक्षात आले. “त्यांपैकी” हा शब्द टाळून अपूर्णांकांची ओळख करून दिल्याने अंशाधिक अपूर्णांक शिकताना येणारी अडचण सहज टळू शकते हेही माझ्या लक्षात आले.
🎈महाराष्ट्र शासनाच्या प्राथमिक शाळेच्या अभ्यासक्रमानुसार प्रमाणित एककाच परिचय इ, तिसरी, चौथी व पाचवी मिळून करून देणे अपेक्षित आहे. हा भाग बहुतेक वेळा मुले पाठ करतात असे माझ्या लक्षात आले. मिली, सेंटी, डेसी अशी नावे वापरून दिलेली उदाहरणे मुले सोडवतात. एक हजार लिटर पाणी नेण्यासाठी मोठी टाकी लागेल असे मी जेव्हा मुलांना सांगितले, तेव्हा त्यांना फारच आश्चर्य वाटले. या सगळ्या मुलांना मिली, सेंटी, डेसी, लिटर, डेका, हेक्टो, किलो ही श्रेणी पाठ होती. समस्येवर उपाय म्हणून मी व्यवहारातल्या वस्तूची सांगड एककाशी घालत असे. जसे बाळाला औषध पाजण्याचा ड्रॉपर पाणी घेतले तर ते साधारण एक मिलीलिटर इतके असते किंवा मुलांना औषध देण्याचे छोटे टोपण १ सेंटीलिटर असले किंवा कफ सिरपची बाटली १ डेसीलिटरची असते, अशी उदाहरणे वापरून मी मुलांना परिमाणाचे अंदाज करण्यास शिकवत असे. यामुळे मुलांना एका एककाचे दुसर्‍या एककात रूपांतर करताना मोठीच मदत मिळते, असेही माझ्या लक्षात आले. एकूणच मापन हा भाग आपल्याकडे दुर्लक्षित असून तो योग्य रीतीने शिकवण्यासाठी विचारपूर्वक कार्यक्रम आखायला हवा असेही मला जाणवले.
🐑🐘🐑🐘🐑🐘🐑
📢📢📢📢📢📢📢
परिपाठाविषयी संपुर्ण माहिती देणाऱ्या खालील पेजला नक्की भेट द्या.
यात परिपाठासाठी आवश्यक MP3 गीते, दररोजचा इंग्रजी-मराठी परिपाठ, बोधकथा-सुविचार-दिनविशेष-गीते यांचा संग्रह-
👇🏻
http://tanajisomwanshi.blogspot.in/2015/10/blog-post_81.html?m=1
🙏🏻🙏🏻 धन्यवाद 🙏🏻🙏🏻
